Deze pagina gaat over het bepalen van doorsneden van balken en staven, indien de buigingsmomenten en de staafkracht bekend zijn.
Weerstandvermogen van een staaf
In een staaf treden verschillende inwendige krachten op, naarmate de uitwendige krachten op verschillende wijze op de staaf werken. De uitwendige krachten zijn de krachten, welke van buiten af op een staaf werken
Weerstandvermogen tegen trekken en drukken
De staaf wordt getrokken of gedrukt door een in de as werkende kracht F. De staaf wordt door deze kracht F uitgerekt of samengedrukt, totdat de inwendige krachten, welke in de staaf ontstaan om dit uitrekken of samendrukken te verhinderen, met de uitwendige kracht F in evenwicht zijn. Het vermogen van de staaf om aan deze uitrekking of samendrukking weerstand te bieden, noemt men het weerstandsvermogen van de staaf tegen trek of druk.
Weerstandvermogen tegen buigen
Indien de richting waarin de kracht F werkt niet met de as van de staaf samenvalt, zal de staaf doorbuigen onder de werking van de kracht F, (zie fig. 1). De staaf zal onder de werking van de kracht F doorbuigen, totdat de inwendige krachten, welke in de staaf ontstaan om dit doorbuigen te verhinderen, met de uitwendige kracht F in evenwicht te zijn. Het vermogen van de staaf om aan deze doorbuiging weerstand te bieden, wordt het weerstandsvermogen van de staaf tegen doorbuigen genoemd.
Weerstandvermogen tegen afschuiven
De kracht Fp tracht een gedeelte van de staaf van het andere gedeelte dwars af te schuiven of af te snijden. De weerstand, welke de staaf tegen dit afschuiven of doorsnijden door deze kracht Fp biedt, wordt het weerstandsvermogen van de staaf tegen afschuiven of doorsnijden genoemd.
Om de, door de werking van de inwendige krachten (die veroorzaakt zijn door de inwendige krachten), te onderzoeken en de grote van deze weerstand te bepalen, drukt men deze inwendige krachten steeds uit in de kracht, welke per vlakte-eenheid (oppervlakte A) op de staaf werkt. Men noemt de inwendige kracht, welke op een vierkante centimeter van de doorsnede werkt, de spanning, aangeduid met ?
De spanning van een staaf is dus de inwendige kracht, welke per vierkante centimeter, van de doorsnede in een staaf optreedt om aan de werking van de uitwendige kracht weerstand te bieden.
De spanning wordt steeds uitgedrukt in N/cm (vroeger kg/cm), de spanning wordt altijd met σ aangeduid.
Naar de wijze, waarop de kracht Fp, welke de spanning veroorzaakt, op de staaf werkt (zie boven), onderscheidt men de spanning in:
Trekspanning: σt
Drukspanning: σd
Buigspanning: σb
Schuifspanning: σs
Wordt een staaf door een kracht Ft getrokken, dan wordt de staaf uitgerekt en heerst er een trekspanning σ in de staaf.
Zodra de kracht ophoudt te werken, wordt de spanning nul en de staaf herneemt haar oude vorm terug aan. Wordt de kracht F en dus eveneens de spanning ? steeds groter, dan bereikt de spanning ? uiteindelijk zijn grens. Bij het wegnemen van de kracht F in deze staaf herneemt de staaf zich niet meer tot haar vroegere vorm, ze blijf uitgerekt. Deze grens noemt men de 'grens der elasticiteit' de 'elasticiteitsgrens = σe'.
Men mag een staaf nooit zo hoog belasten, dat de spanning de grens van de elasticiteit σe, bereikt.
Wordt het gewicht F voortdurend groter genomen, dan is de uitrekking niet meer evenredig aan F en de spanning σ de spanning wordt uiteindelijk zo groot, dat de staaf breekt. Deze spanning noemt men de breukspanning of breukmodule. Zij bedraagt bij welijzer 33 kN 40 kN (3300 4000 kg), de staaf is dan minstens 10% uitgerekt.
Neemt men nu aan, dat men de staaf steeds meer en meer kan belasten, zonder dat de elasticiteitsgrens wordt overschreden, dan zal de staaf hoe langer hoe meer uitgerekt worden, naar gelang F en dus ook de spanning σ groter wordt. De spanning welke in de staaf zou heersen op ogenblik, dat zij tot haar dubbele lengte uitgerekt zou zijn, wordt de 'elasticiteitsmudule = E' genoemd. Men beschouwd steeds de elasticiteitsmodule E evenals de breukmodule als een spanning, deze wordt dus uitgedrukt in N/cm (vroeger kg/cm).
Gemiddelde waarden van de elasticiteitsmodule, van de breukspanning en van de grens der elasticiteit voor gietijzer, welijzer, vloeiijzer zijn in de onderstaande tabel aangegeven.
Zoals reeds aangegeven werd, mag de spanning in een materiaal nooit de grens van de elasticiteit bereiken.
De spanning, welke in de regel veroorloofd zijn voor de verschillende ijzersoorten, de z. g.
Veroorloofde spanningen, zijn in de volgende tabel aangegeven: σ
Bij een staaf die aan een zeer wisselende belasting onderhevig is, zodat er telkens nu eens trek-, dan weer drukspanning in heerst, moeten we de bovenstaande gegevens met 30% verminderen.
De in bovenstaande tabel voor de veroorloofde spanningen aangeven waarden kunnen steeds gebruikt worden, indien het gemeentelijk bouwtoezicht de grootte van de veroorloofde spanningen niet aangeeft en men deze dus zelf mag vaststellen. De hoogste, voor vloeiijzer en vloeistaal aangegeven veroorloofde, spanningen gebruikt men slechts, indien het materiaal aan een strenge keuring onderworpen werd door het nemen van trekproeven enz.
Het weerstandsvermogen tegen trekken en drukken
Noemt men de oppervlakte van een doorsnede van een getrokken of gedrukte staaf A, uitgedrukt in cm en de op de staaf werkende kracht of staafkracht F in Newton, dan zal, indien men aanneemt, dat de staafkracht zich gelijkmatig over de doorsnede verdeelt, de op 1 cm werkende staafkracht, de spanning σ gelijk zijn aan de staafkracht gedeeld door de oppervlakte van de doorsnede A, dus:
spanning = staafkracht / opp. doorsnede of σ = F / A (formule 1)
Daar in de regel de doorsnede gevraagd en de veroorloofde spanning σ gegeven is, schrijft men formule 1 in onderstaande vorm:
staafkracht = spanning / opp. doorsnede of A = F / σ (formule 2)
Zet men de waarden voor σ uit de tabel 2 in formule 2, dan verkrijgt men de volgende formules voor de vereiste doorsneden van getrokken en gedrukte staven:
F = staafkracht (in Newton)
A = oppervlakte doorsnede (in cm)
Voorbeelden:
1. De staafkracht van een getrokken welijzeren staaf is 2000 N. Hoe groot moet de doorsnede van deze staaf zijn?
Volgens de tabel is voor welijzer de formule 4 van toepassing.
A = F / 1000 = 2000 N / 10000 N = 2 cm
2. Een vloeiijzeren staaf van gelijkzijdige hoekijzer wordt getrokken door een kracht F = 18900 kg. Gevraagd is de vereiste doorsnede en het profielnummer.
Volgens de tabel is voor vloeiijzer de formule 5a van toepassing.
A = F / 1000 = 189000 N / 10000 N = 18,9 cm
Voor het berekenen tegen knikken wordt zeer dikwijls gebruik gemaakt door de formule van Euler:
Weerstandvermogen van een staaf
In een staaf treden verschillende inwendige krachten op, naarmate de uitwendige krachten op verschillende wijze op de staaf werken. De uitwendige krachten zijn de krachten, welke van buiten af op een staaf werken
Weerstandvermogen tegen trekken en drukken
De staaf wordt getrokken of gedrukt door een in de as werkende kracht F. De staaf wordt door deze kracht F uitgerekt of samengedrukt, totdat de inwendige krachten, welke in de staaf ontstaan om dit uitrekken of samendrukken te verhinderen, met de uitwendige kracht F in evenwicht zijn. Het vermogen van de staaf om aan deze uitrekking of samendrukking weerstand te bieden, noemt men het weerstandsvermogen van de staaf tegen trek of druk.
Weerstandvermogen tegen buigen
Indien de richting waarin de kracht F werkt niet met de as van de staaf samenvalt, zal de staaf doorbuigen onder de werking van de kracht F, (zie fig. 1). De staaf zal onder de werking van de kracht F doorbuigen, totdat de inwendige krachten, welke in de staaf ontstaan om dit doorbuigen te verhinderen, met de uitwendige kracht F in evenwicht te zijn. Het vermogen van de staaf om aan deze doorbuiging weerstand te bieden, wordt het weerstandsvermogen van de staaf tegen doorbuigen genoemd.
Weerstandvermogen tegen afschuiven
De kracht Fp tracht een gedeelte van de staaf van het andere gedeelte dwars af te schuiven of af te snijden. De weerstand, welke de staaf tegen dit afschuiven of doorsnijden door deze kracht Fp biedt, wordt het weerstandsvermogen van de staaf tegen afschuiven of doorsnijden genoemd.
Om de, door de werking van de inwendige krachten (die veroorzaakt zijn door de inwendige krachten), te onderzoeken en de grote van deze weerstand te bepalen, drukt men deze inwendige krachten steeds uit in de kracht, welke per vlakte-eenheid (oppervlakte A) op de staaf werkt. Men noemt de inwendige kracht, welke op een vierkante centimeter van de doorsnede werkt, de spanning, aangeduid met ?
De spanning van een staaf is dus de inwendige kracht, welke per vierkante centimeter, van de doorsnede in een staaf optreedt om aan de werking van de uitwendige kracht weerstand te bieden.
De spanning wordt steeds uitgedrukt in N/cm (vroeger kg/cm), de spanning wordt altijd met σ aangeduid.
Naar de wijze, waarop de kracht Fp, welke de spanning veroorzaakt, op de staaf werkt (zie boven), onderscheidt men de spanning in:
Trekspanning: σt
Drukspanning: σd
Buigspanning: σb
Schuifspanning: σs
Wordt een staaf door een kracht Ft getrokken, dan wordt de staaf uitgerekt en heerst er een trekspanning σ in de staaf.
Zodra de kracht ophoudt te werken, wordt de spanning nul en de staaf herneemt haar oude vorm terug aan. Wordt de kracht F en dus eveneens de spanning ? steeds groter, dan bereikt de spanning ? uiteindelijk zijn grens. Bij het wegnemen van de kracht F in deze staaf herneemt de staaf zich niet meer tot haar vroegere vorm, ze blijf uitgerekt. Deze grens noemt men de 'grens der elasticiteit' de 'elasticiteitsgrens = σe'.
Men mag een staaf nooit zo hoog belasten, dat de spanning de grens van de elasticiteit σe, bereikt.
Wordt het gewicht F voortdurend groter genomen, dan is de uitrekking niet meer evenredig aan F en de spanning σ de spanning wordt uiteindelijk zo groot, dat de staaf breekt. Deze spanning noemt men de breukspanning of breukmodule. Zij bedraagt bij welijzer 33 kN 40 kN (3300 4000 kg), de staaf is dan minstens 10% uitgerekt.
Neemt men nu aan, dat men de staaf steeds meer en meer kan belasten, zonder dat de elasticiteitsgrens wordt overschreden, dan zal de staaf hoe langer hoe meer uitgerekt worden, naar gelang F en dus ook de spanning σ groter wordt. De spanning welke in de staaf zou heersen op ogenblik, dat zij tot haar dubbele lengte uitgerekt zou zijn, wordt de 'elasticiteitsmudule = E' genoemd. Men beschouwd steeds de elasticiteitsmodule E evenals de breukmodule als een spanning, deze wordt dus uitgedrukt in N/cm (vroeger kg/cm).
Gemiddelde waarden van de elasticiteitsmodule, van de breukspanning en van de grens der elasticiteit voor gietijzer, welijzer, vloeiijzer zijn in de onderstaande tabel aangegeven.
| Materiaal | Elasticiteitsmodule (N/cm) | Breukspanning Getrokken (N/cm) | Breukspanning Gedrukt (N/cm) | Grens der elasticiteit (N/cm) |
|---|---|---|---|---|
| Gietijzer | 10000000 | 13500 | 75000 | bestaat niet |
| Welijzer | 20000000 | 36000 | 36000 | 13000-17000 |
| Vloeiijzer | 20000000 | 40000 | 40000 | 20000-24000 |
| Vloeistaal | 22000000 | 50000-80000 | 50000-80000 | 25000-42000 |
Zoals reeds aangegeven werd, mag de spanning in een materiaal nooit de grens van de elasticiteit bereiken.
De spanning, welke in de regel veroorloofd zijn voor de verschillende ijzersoorten, de z. g.
Veroorloofde spanningen, zijn in de volgende tabel aangegeven: σ
| Materiaal | Trekspanning σt (in N/cm) | Drukspanning σd (in N/cm) | Buigspanning σb (in N/cm) | Schuifspanning σs (in N/cm) |
|---|---|---|---|---|
| Gietijzer | 2500 | 5000 | 2500 | σs is gelijk aan 4/5 x σ |
| Welijzer | 10000 | 10000 | 10000 | σs is gelijk aan 4/5 x σ |
| Vloeiijzer | 10000-12000 | 10000-12000 | 10000-12000 | σs is gelijk aan 4/5 x σ |
| Vloeistaal | 12000-15000 | 12000-15000 | 12000-15000 | σs is gelijk aan 4/5 x σ |
Bij een staaf die aan een zeer wisselende belasting onderhevig is, zodat er telkens nu eens trek-, dan weer drukspanning in heerst, moeten we de bovenstaande gegevens met 30% verminderen.
De in bovenstaande tabel voor de veroorloofde spanningen aangeven waarden kunnen steeds gebruikt worden, indien het gemeentelijk bouwtoezicht de grootte van de veroorloofde spanningen niet aangeeft en men deze dus zelf mag vaststellen. De hoogste, voor vloeiijzer en vloeistaal aangegeven veroorloofde, spanningen gebruikt men slechts, indien het materiaal aan een strenge keuring onderworpen werd door het nemen van trekproeven enz.
Het weerstandsvermogen tegen trekken en drukken
Noemt men de oppervlakte van een doorsnede van een getrokken of gedrukte staaf A, uitgedrukt in cm en de op de staaf werkende kracht of staafkracht F in Newton, dan zal, indien men aanneemt, dat de staafkracht zich gelijkmatig over de doorsnede verdeelt, de op 1 cm werkende staafkracht, de spanning σ gelijk zijn aan de staafkracht gedeeld door de oppervlakte van de doorsnede A, dus:
spanning = staafkracht / opp. doorsnede of σ = F / A (formule 1)
Daar in de regel de doorsnede gevraagd en de veroorloofde spanning σ gegeven is, schrijft men formule 1 in onderstaande vorm:
staafkracht = spanning / opp. doorsnede of A = F / σ (formule 2)
Zet men de waarden voor σ uit de tabel 2 in formule 2, dan verkrijgt men de volgende formules voor de vereiste doorsneden van getrokken en gedrukte staven:
gietijzer getrokken staven: A = F / 2500
gietijzer gedrukte staven: A = F / 2500 (formule 3)
welijzer getrokken staven: A = F / 10000
welijzer gedrukte staven: A = F / 10000 (formule 4)
vloeiijzer getrokken staven: A = F / 10000
vloeiijzer gedrukte staven: A = F / 10000 (formule 5a)
vloeiijzer getrokken staven: A = F / 12000
vloeiijzer gedrukte staven: A = F / 12000 (formule 5b)
F = staafkracht (in Newton)
A = oppervlakte doorsnede (in cm)
1. De staafkracht van een getrokken welijzeren staaf is 2000 N. Hoe groot moet de doorsnede van deze staaf zijn?
Volgens de tabel is voor welijzer de formule 4 van toepassing.
A = F / 1000 = 2000 N / 10000 N = 2 cm
2. Een vloeiijzeren staaf van gelijkzijdige hoekijzer wordt getrokken door een kracht F = 18900 kg. Gevraagd is de vereiste doorsnede en het profielnummer.
Volgens de tabel is voor vloeiijzer de formule 5a van toepassing.
A = F / 1000 = 189000 N / 10000 N = 18,9 cm
Volgens het profielboek, zie profielentabel 4 gelijkzijdig hoekijzer, heeft het gelijkzijdig hoekijzer Nr. 10, met de afmetingen 100x100x100 mm een doorsnede van 19,2 cm, dit Nr. kan dus gebruikt worden.
De formules 3 - 5 voor gedrukte staven kunnen slechts gebruik worden, wanneer deze zo kort zijn, dat men van een ineendrukken van de staaf kan spreken. Is een staaf zo lang, dat niet slechts een ineendrukking, maar vooral een op zijde uitbuigen van de staaf voorkomt, met andere worden knikken, dan is onderstaande formule niet voldoende, maar moet de staaf bovendien op knikken berekend worden.
A = F / σd
De formules 3 - 5 voor gedrukte staven kunnen slechts gebruik worden, wanneer deze zo kort zijn, dat men van een ineendrukken van de staaf kan spreken. Is een staaf zo lang, dat niet slechts een ineendrukking, maar vooral een op zijde uitbuigen van de staaf voorkomt, met andere worden knikken, dan is onderstaande formule niet voldoende, maar moet de staaf bovendien op knikken berekend worden.
A = F / σd
Weerstandsvermogen tegen knikken
Voor het berekenen tegen knikken wordt zeer dikwijls gebruik gemaakt door de formule van Euler:
F = m / n = E Jmin / i (forumule 6)
In deze formule is:
Volgens het profielenboek, zou bv. het I-profiel Nr. 28 met een klein traagheidsmoment van 365 cm (tot de 4de macht), voldoende zijn.
De doorsnede van Nr. 28 is 61,1 cm, zodat de vereiste doorsnede F = 12 cm aanwezig is.
In deze formule is:
P = de belasting in Newton (de kracht die op het profiel komt)
m = 10 voor een staaf, die aan beide einden met scharnieren bevestigd is
m = 20 voor een staaf, die aan het benedeneinde vast ingeklemd is en aan het boveneinde met een scharnier bevestigd is
m = 40 voor een staaf, die aan beide einden vast ingeklemt is
n = het zogenaamde zekerheidsgetal
Jmin = het kleinste traagheidsmoment van de doorsnede
E = de Elasticiteitsmodule
i = de lengte van de staaf in cm
Het is gebruikelijk bij de berekeningen in gewone bouwkunde voorkomende kolommen en staven aan te nemen, dat de staaf aan beide einden met scharnieren, d.w.z. beweeglijk is bevestigd. Men neemt dus aan dat m = 10. Als zekerheidsgetal kan men gemiddeld n = 6 aannemen (zie ook hoofdstuk paragraaf 7).
In de regel is gegeven de kracht F of de staafkracht Fp, welke in de staaf heerst, gevraagd is dan de doorsnede van de staaf.
De doorsnede kan bepaald worden zodra men het traagheidsmoment kent. Men schrijft dus de formule 6 in de volgende vorm:
m = 10 voor een staaf, die aan beide einden met scharnieren bevestigd is
m = 20 voor een staaf, die aan het benedeneinde vast ingeklemd is en aan het boveneinde met een scharnier bevestigd is
m = 40 voor een staaf, die aan beide einden vast ingeklemt is
n = het zogenaamde zekerheidsgetal
Jmin = het kleinste traagheidsmoment van de doorsnede
E = de Elasticiteitsmodule
i = de lengte van de staaf in cm
Het is gebruikelijk bij de berekeningen in gewone bouwkunde voorkomende kolommen en staven aan te nemen, dat de staaf aan beide einden met scharnieren, d.w.z. beweeglijk is bevestigd. Men neemt dus aan dat m = 10. Als zekerheidsgetal kan men gemiddeld n = 6 aannemen (zie ook hoofdstuk paragraaf 7).
In de regel is gegeven de kracht F of de staafkracht Fp, welke in de staaf heerst, gevraagd is dan de doorsnede van de staaf.
De doorsnede kan bepaald worden zodra men het traagheidsmoment kent. Men schrijft dus de formule 6 in de volgende vorm:
Jmin = n / m = F i / E (formule 7)
Zet men de waarden m = 10 en n = 6 in deze formule dan is:
Jmin = 3 / 5 = F i / E (formule 8)
Zet men hierin de voor de verschillende materialen in paragraaf 5 gegeven waarden der Elasticiteitsmodule E, dan vindt men de volgende formules:
Zet men hierin de voor de verschillende materialen in paragraaf 5 gegeven waarden der Elasticiteitsmodule E, dan vindt men de volgende formules:
Formules van Euler voor gedrukte staven:
Gietijzer: Jmin = 6 F i
Welijzer: Jmin = 3 F i
Vloeiijzer: Jmin = 3 F i
i = de lengte van de staaf in m
F = staafkracht of belasting der kolom in ton (1 ton = 1000 kg)
Voorbeeld
Een staaf van vloeiijzer is 3 m lang, zij is belast met 120000 N (12000 kg). De veroorloofde drukspanning is 1000 kg / cm, het zekerheidsgetal = 6. Gevraagd is het vereiste Jmin.
Volgens de formules 5a en 11 is:
F = staafkracht of belasting der kolom in ton (1 ton = 1000 kg)
Voorbeeld
Een staaf van vloeiijzer is 3 m lang, zij is belast met 120000 N (12000 kg). De veroorloofde drukspanning is 1000 kg / cm, het zekerheidsgetal = 6. Gevraagd is het vereiste Jmin.
Volgens de formules 5a en 11 is:
F = S / 10000 en Jmin = 3 F i
F = 12000 N / 1000 = 12 c
Jmin = 3 F i (S in ton, i in meter) = 3 x 12 ton x 3 m = 324 cm (tot de 4de macht)
Volgens het profielenboek, zou bv. het I-profiel Nr. 28 met een klein traagheidsmoment van 365 cm (tot de 4de macht), voldoende zijn.
De doorsnede van Nr. 28 is 61,1 cm, zodat de vereiste doorsnede F = 12 cm aanwezig is.
